En matemática estudiamos varios conjuntos de números atendiendo las distintas formas de operarlos y relacionarlos de manera abstracta; pero nos interesa ahora pensar en la aplicación de los números como herramientas para capturar y registrar características del mundo real. En tal sentido existen tres formas diferentes de aplicarlos: nominal, ordinal y cardinal Veamos cada caso.
La función nominal
Una de las formas de registrar características de un objeto mediante números es utilizándolo como nombre de la característica (o del objeto mismo). Por ejemplo, los códigos de barra de los productos son números que designan al producto, pero no tienen más función que la de darles un nombre. Nos damos cuenta de esto porque no es posible decir que si el código de barras de una lata de tomates es mayor que el de una lata de arvejas, entonces la lata de tomates es mayor que la lata de arvejas. Del mismo modo, si la suma de ambos códigos de barra nos da el código de un sweater, nos es válido decir que una lata de tomates más una lata de arvejas es igual a un sueter.
En el ejemplo vemos que no estamos utilizando la función del numero consistente en ordenar una secuencia de menor a mayor ni la de operarlos para obtener otros números. Solo lo utilizamos para denominar un objeto, para darle un mero nombre. En lugar de números podríamos utilizar letras o una combinación de ambas cosas, o palabras o frases.
La ventaja de los números para esta aplicación es que nos proveen un reservorio infinito de nombres.
Cuando los números se usan para nombrar cosas (o sus características), como los números de código de barra, los números de documento de las personas o cualquier otro sistema de codificación, decimos que cumplen una función nominal. Y para esta función se suelen utilizar números naturales.
Los sistemas de codificación son arbitrarios, esto es, el número no representa ninguna característica física de la cosa que designa. Lo mismo ocurre con las palabras: la palabra "papá" no describe ninguna característica física de los padres y por eso utilizamos palabras distintas en distintos lenguajes para designar el mismo objeto. Del mismo modo como un lenguaje es arbitrario, lo es el número en su función nominal.
Por supuesto, cuando uno utiliza un sistema de codificación suele fijar criterios para que los códigos nos digan alguna cosa del objeto que codifican. Por ejemplo si estamos codificando insumos de una fábrica textil podemos decidir que utilizaremos siempre números de cinco cifras, que las dos primeras cifras referirán el rubro del insumo y las siguientes tres lo terminarán de precisar. Pero estas decisiones son también arbitrarias. Si hemos decidido comenzar con 10 el rubro "hilados", no significa esto que el 10 represente alguna característica física que solo está presente en el hilado, sino, más bien, que se nos ha antojado utilizar 10 para "hilados", 11 para "bolsas", 12 para "cajas", etc.
La función ordinal
Otra función de los números es la de ordenar una secuencia. Por ejemplo, la escala de Mercalli utilizada para medir los efectos de un terremoto, es una escala de 12 grados donde cada número indica un terremoto más destructivo que el anterior. Así, un sismo de 5 grados en la escala de Mercalli es menos destructivo que uno de 6, y éste es menos destructivo que uno de 7. Sin embargo, carece de todo sentido decir que un terremoto de grado 8 es el doble de destructivo que uno de grado 4, porque no hay como establecer que un destrozo sea el doble que otro.
En la función ordinal se utilizan los números para secuenciar los valores de un conjunto de características del mismo tipo. Solo importa aquí el orden de los números y no sus relaciones algebraicas, ya que no existe una correspondencia entre la suma y la multiplicación por una parte y características de los objetos referidos por otra.
Al igual que antes, suelen utilizarse números naturales para referir características utilizando la función ordinal de los números.
La función cardinal
A la hora de representar características físicas, la tercer función del número es la de asignar una medida a la característica. Por ejemplo, decimos que Juan mide 1,8 metros para indicar que una unidad patrón de longitud conocida de antemano, el metro, cabe 1,8 veces en la altura de Juan. Lo interesante aquí es que ahora sí tiene sentido pensar en algo cuya altura sea dos veces la de Juan, o la mitad, o la de Juan más 24 metros.
Cuando utilizamos los números para registrar medidas, siempre en necesario utilizar una unidad que especifique qué estamos contando y a qué llamamos "uno".
Cuando utilizamos el número en su función algebraica de registro, resulta conveniente diferenciar si estamos utilizando unidades discretas (que se pueden contar una por una) o continuas (donde siempre es posible encontrar un valor entre otros dos) . Utilizamos números enteros en el primer caso (generalmente naturales) y números racionales en el segundo caso, aunque los tratamos algebraicamente como reales.
Observemos que la continuidad, tal como se define en matemática, es una propiedad de los números reales y no de los racionales, sin embargo, en la práctica, solo utilizamos un conjunto finito de racionales para establecer los registros, cuyo tamaño estará dado por la precisión (cantidad de decimales) con que trabajemos. Pero a la hora de operar matemáticamente con los registros, pueden aparecer números reales que no son racionales ( por ejemplo, $\pi$ o $\sqrt{2}$). Por esta razón preferimos hablar de variables continuas.
Cuando registramos características utilizando números que se pueden operar matemáticamente, estamos suponiendo veladamente que la característica del objeto real registrado verifica los mismos atributos que el objeto matemático utilizado para registrarlo. Por ejemplo, cuando utilizamos reales para registrar el tiempo, estamos suponiendo que siempre existe un instante en medio de otros dos, porque, de hecho, siempre existe un real en medio de otros dos. Sin embargo no tenemos certeza que de siempre exista un instante entre otros dos y hay teorías físicas que suponen lo contrario. Por eso, cuando trasladamos una propiedad matemática al plano concreto, debemos tener la precaución de entender que, en el plano concreto, esa propiedad es una hipótesis, aunque sea una verdad matemática. Sucede que las verdades matemáticas en cierto punto dependen de los axiomas elegidos y esta elección siempre conserva una impronta arbitraria.
En resumen
Podemos utilizar números para nombrar características, para ordenarlas en una secuencia creciente o para medirla y operar matemáticamente con estas medidas. En el primer caso podrían utilizarse nombres en lugar de números; y en el segundo caso podría utilizarse cualquier secuencia ordenada conocida (por ejemplo, el abecedario); pero el número sirve para registrar cualquiera de los tres casos.
Podemos utilizar números para nombrar características, para ordenarlas en una secuencia creciente o para medirla y operar matemáticamente con estas medidas. En el primer caso podrían utilizarse nombres en lugar de números; y en el segundo caso podría utilizarse cualquier secuencia ordenada conocida (por ejemplo, el abecedario); pero el número sirve para registrar cualquiera de los tres casos.
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